Efeito Borboleta.

Normalmente essa é a primeira coisa que vem em mente quando falamos sobre Teoria do Caos.

Por que a analogia com o bater das asas de uma borboleta e o consequente desenvolvimento de um furação no outro lado do planeta sempre é utilizada para descrever essa teoria?

Vamos nos aprofundar um pouco neste tema e veremos a resposta.

Além disso, também vamos apresentar como a Teoria do Caos é utilizada nas ciências ambientais e no final da postagem, vamos criar um modelo no MATLAB utilizando Teoria do Caos (Atrator de Lorenz).

Sumário
O que são sistemas não lineares?
O que é a Teoria do Caos?
Onde a Teoria do Caos é aplicada nas Ciências Ambientais?
A Teoria do Caos no MATLAB.

O que são sistemas não lineares?

Antes de começarmos a falar sobre Teoria do Caos, temos que conhecer o que são Sistemas Lineares e Sistemas Não Lineares.

Sistemas Lineares, ou sistema de equações lineares, representam tipos de modelos simples, usualmente envolvendo polinômios de primeiro grau (ou seja, variáveis com expoente igual à um, tais como: x + 3y + 10 = 0).

A solução de sistemas lineares resulta em pontos, linhas ou planos sem curvas, retos, dando origem ao nome dessas equações.

Agora os sistemas de equações não-lineares são formados por polinômios de grau maior que um. Equações com funções de seno, cosseno, raízes ou expoentes superiores à um (e.g. x² + 3x + y³ = 0) representam alguns exemplos de equações não-lineares.

A solução de sistemas não lineares é complexa e muitas vezes seus resultados são inesperados (veja o exemplo do pendulo duplo no vídeo abaixo).

E nesse momento, chegamos na Teoria do Caos.

O que é a Teoria do Caos?

Por meio de equações diferenciais, cientistas conseguem prever o movimento de planetas, cometas, som, calor e fluídos, permitindo assim “prever o futuro”.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). (Só Matemática).

Porém, esse pensamento nos faz pensar que tudo é previsível. Pelo menos, na teoria.

Na década de 1960, Edward Lorenz estudava o movimento de massas de ar atmosférico para previsão meteorológica. O estudo do deslocamento de massas de ar envolve várias leis (equações), tais como:

• Leis de Newton;
• Lei de Navier-Stokes;
• Lei de Boyle-Mariotte.

Visando reduzir a complexidades das equações relacionadas ao fenômeno em estudo, Edward Lorenz desenvolveu um sistema de equações simplificadas, mas não lineares, para prever o comportamento das massas de ar.

Nas situações onde as equações são muito complexas, os matemáticos simplificam as equações, processo chamado de Linearização.

Em um primeiro momento, ao inserir seus dados no computador do MIT (i.e. Royal McBee LGP-300), Lorenz inseriu os dados de entrada com 6 casas decimais e executou os cálculos. Em seguida, para confirmar seus resultados, ele efetuou os cálculos novamente, porém, ele inseriu apenas 3 casas decimais.

Embora Lorenz acreditasse que essa redução no número de casas decimais não fosse representar uma grande diferença nos resultados, o resultado foi justamente o oposto.

Enquanto o primeiro resultado representaria uma tempestade no Pólo Norte, o segundo indicaria uma seca nos trópicos.

Edward Lorenz notou que uma pequena alteração nas condições iniciais do sistema poderia resultar em grandes variações nos resultados.

E com isso, nasce a Teoria do Caos.

A teoria do caos tenta explicar os resultados caóticos de sistemas não lineares, que por apresentarem condições iniciais bastante sensíveis, demonstram um comportamento caótico em tempos futuros.

Um observador desatento poderia dizer que os resultados não seguem uma ordem, cabendo à teoria do caos descrevê-los e tentar encontrar ordem num conjunto de dados aparentemente aleatório.

Em outras palavras, a condição inicial seria a borboleta batendo suas asas e o deslocamento de ar produzido por este movimento vai evoluindo, modificando-se, ampliando-se, até chegar no furacão no outro lado do planeta.

Por essa razão, meteorologistas não fornecem a previsão do tempo para tempos muito distantes. Tente perguntar a um deles a previsão do tempo daqui um mês, a resposta deles será que esta muito longe para termos qualquer previsão com exatidão.

Onde a Teoria do Caos é aplicada nas Ciências Ambientais?

A maioria dos fenômenos ambientais são não lineares, podendo apresentar, em algumas situações, condições caóticas, como vimos acima com a história de Edward Lorenz.

Assim como as ciências ambientais, a Teoria do Caos também é uma disciplina interdisciplinar. (S. de Bièvre, 2012)

A Teoria do Caos pode ser encontrada principalmente na previsão do tempo e na ecologia, mas também ela pode ser utilizada no fluxo de correntes oceânicas, efeitos da turbulência em fluídos e placas tectônicas.

Ela também pode ser utilizada para avaliar problemas sociais e ambientais, fenômenos geofísicos e modelos climáticos.

John O. Kakonge (2002), no seu artigo publicado na Journal of Environmental Management, estuda a aplicação da teoria do caos para solucionar problemas sociais e ambientais de Lesotho (país africano), criando uma rede de relações para facilitar a compreensão da situação pelos tomadores de decisão.

O pesquisador B. Sivakumar (2004), na Chaos, Solitons & Fractals, apresenta uma revisão bibliográfica sobre o uso da teoria do caos em um amplo espectro de fenômenos geofísicos, tais como precipitação, fluxos de rios, transporte de sedimentos e temperatura.

Nas ciências ambientais, as áreas com mais aplicações foram as ciências atmosféricas e a hidrologia (Sivakumar, 2004).

Dragutin T. Mihailovic e colaboradores, no livro Developments in Environmental Modelling: Time and Methods in Environmental Interfaces Modelling, demonstram o uso da teoria do caos nos modelos climáticos e balanços de energia na interface entre superfícies.

A Teoria do Caos no MATLAB

Aqui veremos como calcular um exemplo da teoria do caos utilizando programação com MATLAB.

Veja o modelo abaixo, note que as linhas não convergem para uma posição de equilíbrio, nem oscilam numa trajeto constante nem caminham para o infinito.

O modelo acima esta representado o Atrator de Lorenz. Ele é produzido pelo sistema de equações apresentado abaixo, que cabe notar, não aparenta ser tão complexo.

$latex \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma (u_2 – u_1) \\ \rho u_1 – u_2 – u_1 u_3 \\ u_1 u_2 – \beta \end{pmatrix} &s=2$

Este sistema de equações apresenta apenas três variáveis ($latex u_1 , u_2 , u_3$) e três parâmetros, número de Prandtl e os números de Rayleigh (respectivamente, $latex \sigma , \rho , \beta$). A partir disso, vamos montar nosso código no MATLAB.

Primeiramente, vamos inserir as variáveis relacionadas às equações que mencionamos acima.

% Atrator de Lorenz
% Parâmetros

sigma = 16;
rho = 45.96;
beta = 4;
N = 1000; % Número de Iterações
tf = 0.05; % Tempo final da integração
AbsTol = 1.e-5; %Tolerância absoluta para o solucionador ODE
RelTol = 1.e-5; %Tolerância relativa para o solucionador ODE

Agora, vamos modificar algumas funções, tais como o tamanho da linha e as condições do solucionar da Equação Diferencial Ordinária (ODE) e determinar as condições iniciais e criar uma janela para o nosso gráfico.

H = figure; % Cria uma janela para nosso gráfico
set(H, 'DefaultLineLineWidth', 1.0); % Altera a largura da linha
options = odeset('RelTol', RelTol, 'AbsTol', AbsTol, ones(1,3)*AbsTol); % Altera as condições da ODE solver
u0 = [1; 1; 1]; % Condições iniciais

Com estes parâmetros definidos e editados, agora vamos criar um loop do tipo for para iterar de um até nosso valor de N, executando a função ode45, a qual irá solucionar nossa equação diferencial ordinária (ou melhor, nosso sistema de equações acima).

for i = 1:N
    [t, u] = ode45(@lorenz, [0 tf], u0, odeset, beta, rho, sigma);
    hold on;
    plot3(u(:,1),u(:,2),u(:,3),'r'); % Função para criar gráficos em 3D.
    u0 = u(end,:);
end

As próximas linhas de código irão configurar o título do gráfico, assim como irão ocultar os eixos.

title('Atrator de Lorenz (Blog 2 Engenheiros)');
axis off;
hold off;

Note que dentro da função ode45 nós definimos que a função a ser solucionada é a @lorenz, mas ainda não criamos ela. No código abaixo, iremos criar ela dentro de uma function file (um novo arquivo).

function [ dydt ] = lorenz( t,y,beta,rho,sigma )

dydt = [sigma*(y(2)-y(1)); rho*y(1)-y(2)-y(1)*y(3); y(1)*y(2)-beta*y(3)];

end

O resultado ao executar o nosso é apresentado na figura abaixo, sendo que ao obter essa figura no MATLAB, você pode clicar no botão “Rotate 3D” para modificar o ângulo de visualização da figura.

Caso você tenha alguma dificuldade, deixe ela como comentário que estaremos respondendo assim que possível. Além disso, se você gostou da postagem, compartilhe ela na sua rede social. Espalhe o caos.

Referencias consultadas.

Adams Help no Quora. What is the difference between linear and non linear equations? Disponível em <https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-linear-and-non-linear-equations>. Acesso em 06 jun. 2018.

ETCHECOPAR, Philippe. Quelques éléments sur la Théorie du Chaos. AESTQ (Association pour l’enseignement de la science et de la technologie) - Le Saut Quantique. 37p. Disponível em <http://www.aestq.org/sautquantique/telechargement/chaos.pdf>. Acesso em 16 jun. 2018.

GREGORY. K.J. et al. Environmental Sciences: A Student's Companion. SAGE, 2008. 456p.

HOLZBECHER, E. Environmental Modeling using MATLAB. 2ed. Springer, 2012. 410p.