Esgoto e Streeter-Phelps
#Esgotos costumam aumentar a DBO , mas podemos calcular como isso ocorre? Veja nosso tutorial do Matlab e entenda como ocorre esse fenômeno.
Diversas atividades antrópicas geram efluentes líquidos que muitas vezes são despejados em cursos d’água. Tais despejos alteram a qualidade da água e podem prejudicar usuários que estão a jusante (isto é, rio abaixo) e a própria fauna existente.
Partindo desse raciocínio, quantas pessoas serão afetadas por um despejo desse tipo? Até onde a fauna será impactada? A poluição irá alcançar o balneário da cidade? E se alcançar, qual será a concentração do poluente?
Perguntas como essa podem ser respondidas com o modelo de Streeter-Phelps.
O modelo de Stretter-Phelps é utilizado para modelar a concentração de oxigênio dissolvido (OD) e demanda bioquímica de oxigênio (DBO) na água. Quando efluentes sanitários são lançados em rios, a carga orgânica existente neles consome o oxigênio existente na água.
Esse consumo reduz a quantidade de OD disponível para peixes e outros organismos, o que pode acarretar na sua morte. Além disso, também pode causar odores desagradáveis.
O modelo inicialmente proposto por H.W. Streeter e E.B. Phelps levava em conta somente os parâmetros OD e DBO. Com o tempo, o modelo foi aperfeiçoado considerando mais parâmetros, tais como:
- Fotosíntese
- Reaeração
- Nitrificação
- Respiração
- Entre outros
Neste tutorial, utilizaremos as equações do modelo simplificado, sendo que as equações são apresentadas abaixo:
$latex \frac{dC}{dx} = \frac{-k_d \times C} {\bar{u}} &s=4$
$latex \frac{dD}{dx} = \frac{ 1 }{\bar{u}} \times (k_d \times C \times k_a \times D)&s=4$
Lembrando que, C é a concentração de DBO, D é o déficit de OD (ou seja, diferença entre a quantidade de OD em condições de saturação e na condição atual); $latex \bar{u}&s=2$ é a velocidade média do rio; $latex k_d &s=2$ e $latex k_a &s=2$ são respectivamente constantes das taxas de desoxigenação e reaeração de primeira ordem.
Agora que temos nosso conjunto de equações matemáticas que descrevem o fenômeno que queremos estudar, vamos inseri-las no MATLAB. Primeiro, iremos criar um function script e inserir nossas constantes e equações. Siga o modelo abaixo.
function [ dC ] = Blog2Engenheiros_Streeter_Phelps( x, C ) %% Constantes kd = 0.5; % Taxa de Desoxigenação (1/d) ka = 1.9; % Taxa de Reareação (1/d) umed = 14; % Velocidade média (milhas/d) %% Digitalização das equações (fora do formato do Matlab) % dC/dt = (-kd * C) / umed; % dD/dt = (1 / umed) * (kd * C - ka * D); %% Transformando as equações para o formato do Matlab dC(1,:) = (-kd * C(1)) / umed; dC(2,:) = (1 / umed) * (kd * C(1) - ka * C(2));
Note que ao inserirmos as equações, transformamos elas num formato compreensível para o MATLAB. Convertemos as derivadas dC/dt e dC/dt para dC(1,:) e dC(2,:) e o que isso quer dizer?
Significa que criamos uma variável chamada dC e que os nossos resultados devem ser armazenados na primeira linha (para a concentração de DBO) e na segunda linha (para o déficit de OD); sendo que o símbolo : (dois pontos) indica, neste caso, todas as colunas.
Além disso, note que nossos parâmetros de entrada são x e C, que serão utilizados a seguir. Salve essa função como Blog2Engenheiros_Streeter_Phelps.m e vamos para o próximo código.
Condições Iniciais e de Contorno
O próximo passo é definir as condições iniciais e de contorno para o nosso modelo. Nesta situação, vamos considerar um intervalo de rio entre 0 milhas e 150 milhas. Em outras palavras, do local onde ocorre o despejo até 150 milhas a jusante.
Além disso, a concentração inicial de DBO será 7 mg/l e não haverá déficit de OD (D = 0). Tais parâmetros são usualmente obtidos em trabalhos de campo, mas aqui, serão utilizados dados fictícios.
Com tais dados em mãos, vamos criar um novo script no MATLAB.
% Blog 2 Engenheiros % Condições iniciais do Modelo de Streeter-Phelps clear clc Ci = [7, 0]; % Concentração inicial de DBO em mg/l e Déficit inicial de OD x = [0 150]; % Distância considerada [x, C] = ode45('Blog2Engenheiros_Streeter_Phelps', x, Ci); figure plot(x, C) title('Blog 2 Engenheiros') xlabel ('Distância (milhas)') ylabel ('Concentração (mg/L)') legend ('Concentração de DBO', 'Déficit da Concentração de OD')
Utilizamos então a função ode45 para solucionar as equações diferenciais do modelo. Primeiro inserimos o script da nossa função seguida da variável independente (neste caso a distância – x) e as concentrações iniciais.
Por fim, utilizamos algumas funções para criarmos um gráfico dos nossos dados.
Ao salvar seus arquivos e executar o modelo, você deverá obter um gráfico como este acima. Por ele percebemos que após o despejo há um aumento do déficit de OD, ou seja, a concentração de OD reduz, enquanto a DBO no início é alta e conforme a correnteza leva o material do despejo, ela é reduzida.
Percebemos que são necessários quase 150 milhas para que o efeito do poluente não seja mais perceptível.
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