Esgoto e Streeter-Phelps

#Esgotos costumam aumentar a DBO , mas podemos calcular como isso ocorre? Veja nosso tutorial do Matlab e entenda como ocorre esse fenômeno.

Diversas atividades antrópicas geram efluentes líquidos que muitas vezes são despejados em cursos d’água. Tais despejos alteram a qualidade da água e podem prejudicar usuários que estão a jusante (isto é, rio abaixo) e a própria fauna existente.

Partindo desse raciocínio, quantas pessoas serão afetadas por um despejo desse tipo? Até onde a fauna será impactada? A poluição irá alcançar o balneário da cidade? E se alcançar, qual será a concentração do poluente?

Perguntas como essa podem ser respondidas com o modelo de Streeter-Phelps.

O modelo de Stretter-Phelps é utilizado para modelar a concentração de oxigênio dissolvido (OD) e demanda bioquímica de oxigênio (DBO) na água. Quando efluentes sanitários são lançados em rios, a carga orgânica existente neles consome o oxigênio existente na água.

Esse consumo reduz a quantidade de OD disponível para peixes e outros organismos, o que pode acarretar na sua morte. Além disso, também pode causar odores desagradáveis.

O modelo inicialmente proposto por H.W. Streeter e E.B. Phelps levava em conta somente os parâmetros OD e DBO. Com o tempo, o modelo foi aperfeiçoado considerando mais parâmetros, tais como:

  • Fotosíntese
  • Reaeração
  • Nitrificação
  • Respiração
  • Entre outros

Neste tutorial, utilizaremos as equações do modelo simplificado, sendo que as equações são apresentadas abaixo:

\frac{dC}{dx} = \frac{-k_d \times C} {\bar{u}}

\frac{dD}{dx} = \frac{ 1 }{\bar{u}} \times (k_d \times C \times k_a \times D)

Lembrando que, C é a concentração de DBO, D é o déficit de OD (ou seja, diferença entre a quantidade de OD em condições de saturação e na condição atual); \bar{u} é a velocidade média do rio; k_d e k_a são respectivamente constantes das taxas de desoxigenação e reaeração de primeira ordem.

Agora que temos nosso conjunto de equações matemáticas que descrevem o fenômeno que queremos estudar, vamos inseri-las no MATLAB. Primeiro, iremos criar um function script e inserir nossas constantes e equações. Siga o modelo abaixo.

function [ dC ] = Blog2Engenheiros_Streeter_Phelps( x, C )

%% Constantes
kd = 0.5; % Taxa de Desoxigenação (1/d)
ka = 1.9; % Taxa de Reareação (1/d)
umed = 14; % Velocidade média (milhas/d)

%% Digitalização das equações (fora do formato do Matlab)
% dC/dt = (-kd * C) / umed;
% dD/dt = (1 / umed) * (kd * C - ka * D);

%% Transformando as equações para o formato do Matlab
dC(1,:) = (-kd * C(1)) / umed;
dC(2,:) = (1 / umed) * (kd * C(1) - ka * C(2));

Note que ao inserirmos as equações, transformamos elas num formato compreensível para o MATLAB. Convertemos as derivadas dC/dt e dC/dt para dC(1,:) e dC(2,:) e o que isso quer dizer?

Significa que criamos uma variável chamada dC e que os nossos resultados devem ser armazenados na primeira linha (para a concentração de DBO) e na segunda linha (para o déficit de OD); sendo que o símbolo : (dois pontos) indica, neste caso, todas as colunas.

Além disso, note que nossos parâmetros de entrada são x e C, que serão utilizados a seguir. Salve essa função como Blog2Engenheiros_Streeter_Phelps.m e vamos para o próximo código.

Condições Iniciais e de Contorno

O próximo passo é definir as condições iniciais e de contorno para o nosso modelo. Nesta situação, vamos considerar um intervalo de rio entre 0 milhas e 150 milhas. Em outras palavras, do local onde ocorre o despejo até 150 milhas a jusante.

Além disso, a concentração inicial de DBO será 7 mg/l e não haverá déficit de OD (D = 0). Tais parâmetros são usualmente obtidos em trabalhos de campo, mas aqui, serão utilizados dados fictícios.

Com tais dados em mãos, vamos criar um novo script no MATLAB.

% Blog 2 Engenheiros
% Condições iniciais do Modelo de Streeter-Phelps

clear
clc

Ci = [7, 0]; % Concentração inicial de DBO em mg/l e Déficit inicial de OD
x = [0 150]; % Distância considerada

[x, C] = ode45('Blog2Engenheiros_Streeter_Phelps', x, Ci);

figure
plot(x, C)
title('Blog 2 Engenheiros')
xlabel ('Distância (milhas)')
ylabel ('Concentração (mg/L)')
legend ('Concentração de DBO', 'Déficit da Concentração de OD')

Utilizamos então a função ode45 para solucionar as equações diferenciais do modelo. Primeiro inserimos o script da nossa função seguida da variável independente (neste caso a distância – x) e as concentrações iniciais.

Por fim, utilizamos algumas funções para criarmos um gráfico dos nossos dados.

Gráfico gerado neste tutorial sobre o modelo de Streeter-Phelps.
Gráfico gerado neste tutorial sobre o modelo de Streeter-Phelps.

Ao salvar seus arquivos e executar o modelo, você deverá obter um gráfico como este acima. Por ele percebemos que após o despejo há um aumento do déficit de OD, ou seja, a concentração de OD reduz, enquanto a DBO no início é alta e conforme a correnteza leva o material do despejo, ela é reduzida.

Percebemos que são necessários quase 150 milhas para que o efeito do poluente não seja mais perceptível.


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Fontes consultadas:
SCHNOOR, J. Environmental Modeling, Fate and Transport of Pollutants in Water, Air and Soil.
Streeter-Phelps Equation. Wikipedia. Disponível em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Streeter-Phelps_equation>.


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Author: Fernando BS

Engenheiro Ambiental e de Segurança do Trabalho. Atua nas áreas de recuperação ambiental, geoprocessamento e ciência do solo. Busca soluções utilizando softwares como ArcGIS, R e MATLAB.

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